Wallenberg Scholars

På jakt efter slumpmässiga mönster

I det slumpmässiga, tillsynes oordnade, ser många matematiker mönster och samband som är dolda för oss andra. Naturen är fylld av sådana mönster. Att hitta dessa mönster och förstå varför de dyker upp är en utmaning.

Formler på randigt papper

Kurt Johanssons intresse för exakt vetenskap som fysik ledde honom till slumpmatris- och sannolikhetsteori. Det kan låta som en motsägelse men egentligen är det olika sidor av samma mynt.

– I all naturvetenskap finns matematiska mönster. Vi matematiker är intresserade av mönster, varför vissa mönster uppstår, varför de är naturliga och upprepar sig. Sannolikhetsteorin visar att det finns mönster i slumpen, förklarar han. Slumpmatristeorin visar på nya slumpmönster. Den gäller främst fysikaliska fenomen men har även, framförallt statistiska, tillämpningar i andra vetenskaper.

Normalkurvan

Den viktigaste och mest använda sannolikhetsfördelningen är normalfördelningen som går tillbaka till felteorin för mätningar. Fördelningen beskriver den slumpmässiga variationen kring ett medel, ett genomsnittligt värde, till exempel av mätvärden. Den dyker upp i de mest skiftande sammanhang, även biologiska och samhällsvetenskapliga. Många känner till att exempelvis längdfördelningen hos en grupp människor ganska väl beskrivs av normalfördelningen. Matematiker vill förstå varför just denna fördelning dyker upp i så många situationer, det måste finnas ett bakomliggande matematiskt mönster.

– För normalfördelningen finns numera en mycket väl utvecklad förståelse. Slumpmatristeori ger upphov till nya sannolikhetsfördelningar och jag fascineras av när och varför dessa dyker upp. Min forskning är inriktad på att förstå den matematiska strukturen bakom dessa nya fördelningar, berättar Kurt Johansson.

Auktoritet inom Tracy-Widomfördelningen

Kurt Johansson är en världsauktoritet när det gäller Tracy-Widomfördelningen, en av de nya fördelningarna som kommer från slumpmatriser.

– Tracy-Widomfördelningen dyker upp i vissa sammanhang där man kanske skulle vänta sig att se en normalfördelning men där fluktuationerna kring ett medel visar sig ha ett annat mönster. Han illustrerar med ett exempel där 10 000 punkter är slumpmässigt utplacerade i en kvadrat.

– Målet är att gå igenom så många punkter som möjligt genom att förflytta sig mellan dessa punkter längs räta linjer i riktningar som ligger mellan nord och öst, med startpunkt i det nedre vänstra hörnet av kvadraten. Det visar sig att man i genomsnitt kan plocka upp cirka 200 punkter, vilket motsvarar 2 gånger kvadratroten av 10 000. Men – variationen kring 200 är inte normalfördelad utan ges istället av Tracy-Widomfördelningen, ett resultat som var helt oväntat.

Det som gör det så intressant är att en likadan slumpmässighet dyker upp i så olika sammanhang.

– Det betyder att det måste finnas en likartad matematisk struktur bakom.

För en matematiker är målet att kunna formulera och bevisa en sats som fångar det mönster man studerar i en matematisk modell, något som ofta visar sig mycket svårt, konstaterar Kurt Johansson. Modellen med de slumpmässigt utplacerade punkterna är nära relaterad till vissa modeller för slumpmässig tillväxt.

– Experiment av fysikerna Takeuchi och Sano har nyligen visat att Tracy- Widomfördelningen beskriver oregelbundenheten i tillväxten av gränsskiktet mellan två faser av flytande kristaller, så denna nya fördelning finns inte bara i matematiska modeller utan kan även påvisas experimentellt.

"Anslaget ger mig mer tid för forskningen och har inneburit att jag har kunnat skapa en forskargrupp. Inom matematik är det inte så vanligt att ha en grupp under en lite längre tid, så för mig är det intressant och givande möjlighet."

Bergsklättring bland lodräta klippor

Kurt Johansson berättar att många av de problem han jobbar med har sin bakgrund i teoretisk fysik.

– Jag vill bevisa satser rörande de återkommande matematiska, slumpmässiga mönstren. Detta faktum, att samma slumpmässiga mönster uppträder i skilda sammanhang, benämns ibland universalitet. Att normalfördelningen dyker upp så ofta är ett bra exempel på universalitet. Utmaningen för en matematiker är att bevisa att det verkligen är så i olika matematiska modeller.

Vägen till att finna dessa bevis liknar han vid att hitta den rätta stigen uppför ett högt berg.

– Ofta känns det som att jag befinner mig bland lodrätta klippor, jag vet inte om jag kommer att lyckas ta mig upp.
Till sin hjälp har han papper, penna, formler och sitt huvud.

– Jag jobbar inte så mycket med datorsimuleringar, även om sådana spelat en viktig roll i slumpmatristeorin för att påvisa universalitet.

Kvantkaos

Steget från sett simuleringsresultat till ett matematiskt bevis kan dock vara långt. Ett exempel på detta är kvantkaos där det finns välformulerade matematiska modeller, och datorsimuleringar tydligt visar att man kan finna fördelningar som kommer från slumpmatristeorin, men där matematiska bevis saknas.

– Jag skulle gärna vilja finna matematiska bevis för dessa observationer men klipporna verkar mycket svårforcerade.

Kurt Johansson säger att han inte vet om hans resultat kommer att leda till några direkta, mer nyttoinriktade, tillämpningar.

– Min verksamhet är matematisk grundforskning och det är ingen tvekan om att matematik är av stor betydelse och nytta i vårt samhälle och vår kultur. Betänk att sannolikhetsteorin, som idag är ytterst användbar, har sina rötter i 1600-talets hasardspel, vilket kanske inte uppfattades som så nyttigt då, även om det intresserade spelarna.

Text Carina Dahlberg
Bild Magnus Bergström