Wallenberg Academy Fellows

Ny matematik förklarar naturens slumpmönster

Fredrik Viklund vill förstå hur naturens storskaliga ordning uppstår ur små och till synes slumpmässiga mönster. Med forskning om så kallade SLE-kurvor, där skalan är oändligt liten, förfinar han matematiken bakom naturens geometriska fenomen.

Matematikinstitutionen huserar i en av KTH:s äldsta byggnader, precis intill Lill-Jansskogen. Lövverket utanför Fredrik Viklunds kontorsfönster matchar de färgglada geometriska slumpmönster han visar på sin dator.

– Mitt forskningsområde är bra på det sättet, det går att göra bilder och de ser rätt häftiga ut. Men när vi analyserar mönstren använder vi ofta penna och papper.

Att det blev en forskarkarriär inom matematik var inte helt otippat. Intresset för matematik började tidigt, berättar Fredrik Viklund.

– Jag hade en väldigt bra mattelärare som stöttade mig. Vi hade också ett naturvetenskapligt program på gymnasiet där man fick göra projekt tillsamman med forskare på universitetet. Det var mycket inspirerande att få komma i kontakt med forskarvärlden i den åldern.

Men han var ändå inte helt säker på vad han ville ägna sig åt och tog först en civilingenjörsexamen i datavetenskap på KTH. Parallellt läste han enstaka kurser i matematik på Stockholms universitet. Efter examensarbetet fick han en doktorandtjänst på KTH:s matematikinstitution.

Schramm bakom kurvan

Fredrik Viklunds doktorsavhandling handlade om slumpmässiga så kallade SLE-kurvors geometriska egenskaper, ett område som han sedan fortsatte att fördjupa sig i.

– Då var det här forskningsfältet nytt och lite risky. Det kändes kul och passade mitt sätt att tänka.

SLE-kurvor upptäcktes kring millenniumskiftet av den israelisk-amerikanska matematikern Oded Schramm, och används för att lättare kunna beskriva och undersöka naturliga slumpmässiga mönster. SLE står för Schramm-Loewner evolution.

– Utvecklingen inom området har sedan dess, och i synnerhet de senaste åren, varit explosionsartad.

Efter 3,5 år i New York som postdok på Columbia University, och ett år vid Uppsala universitet, återvände Fredrik Viklund till KTH där han tack vare anslaget från Knut och Alice Wallenbergs Stiftelse kan förstärka sin forskargrupp.

– I Sverige är jag i princip ensam inom det här området, men jag arbetar med olika forskare runt om i världen, framförallt i USA. Vissa projekt är mer handfasta, andra är mer spekulativa.

”Tack vare anslaget från Stiftelsen kan jag fokusera mer på forskningen. Även programmets övriga delar med nätverk och mentor tillför mycket. Det är väldigt positivt att träffa och lära känna andra unga duktiga forskare som är i samma fas i karriären.”

Slumpen bedrar

Naturen är alltid mycket mer komplicerad än matematiska modeller, konstaterar Fredrik Viklund. Hans forskning går ut på att förfina förenklade teoretiska modeller som fysiker använder för komplexa fysikaliska problem. Det kan till exempel vara modeller för strömning i poröst medium eller olika sorters polymermodeller.

– Fysikerna upptäcker ofta mönster och strukturer i sina modeller men kanske inte beskriver det på ett sätt som vi matematiker tycker är tillräckligt precist, vi vill bevisa saker rigoröst.

Bakgrunden till forskningsfältet är att det i naturen finns en mängd små slumpmässiga mönster som samverkar och skapar komplicerade strukturer och effekter i större skala. Hur det här hänger ihop intresserar både fysiker och matematiker.

Slumpvandring

– SLE-kurvor är en slags stokastisk, slumpmässig, process som lever i en tvådimensionell värld kan man säga. De kan användas för att få en djupare matematisk förståelse för en rad fenomen i naturen, förklarar Fredrik Viklund.

Han ger ett exempel. Ett klassiskt problem inom kemi och fysik är att beskriva polymerer, som består av långa molekylkedjor. Tittar man i mikroskop så ser man att de har en sorts slumpmässig form.

– Att förstå polymerers geometri är högst relevant inom en rad kemiska tillämpningar. Redan på 1940-talet började den amerikanske kemiforskaren och Nobelpristagaren Paul Flory fundera på hur man med en enkel sannolikhetsteoretisk modell skulle kunna modellera polymerer.

Det Flory gjorde, fortsätter Fredrik Viklund, var att han försökte beskriva molekylkedjan med något som kallas icke-självskärande slumpvandring.

– Lätt att ställa upp matematiskt och sannolikhetsmässigt, men jättesvårt att förstå eftersom det är en massa kombinatoriska problem.

Icke-skärande slumpvandringar har visat sig vara enklare att förklara om man definierar dem på ett litet rutnät och zoomar ut. Och SLE-kurvorna har gjort det möjligt att matematiskt beskriva kopplingen mellan olika fysiska slumpmodeller och dess skalgränser, där den mikroskopiska skalan är oändlig. Om det fungerar för polymerer är dock inte bevisat ännu.

Rik geometri

– Det blir fascinerande bilder av slumpvandringar och med SLE-kurvor kan vi beskriva och beräkna dem på ett väldigt precist sätt.

Kurvorna har en rik geometrisk struktur har det visat det sig. Fredrik Viklund är särskilt intresserad av SLE-kurvornas så kallade fraktalgeometriska egenskaper.

– Kan vi matematiskt förstå mönster och strukturer som finns i naturen och fysiken, så blir forskningen extra intressant och lite mer verklig.

Text Susanne Rosén
Bild Magnus Bergström