Wallenberg Academy Fellows

Löser problem där ekvationen blir noll

Petter Brändén utvecklar matematiska teorier som kan lösa centrala problem inom kombinatorik, sannolikhetslära och statistisk mekanik. Hans teori för att analysera nollställen till polynom har till exempel använts för att analysera modeller för frånstötande partiklar inom fysiken.

Papper och penna, och en hjärna som gillar att lösa problem. Det är Petter Brändéns främsta arbetsredskap. Och så kaffe förstås.

– Kaffe är väldigt viktigt för matematikforskningen, säger han och bjuder på en kopp i det generösa fikarummet i en av KTH:s ståtliga tegelbyggnader nära Valhallavägen i Stockholm. 

I arbetsrummet några trappor upp finns också en dator, där han emellanåt testkör en hypotes. På den gröna tavlan på väggen visualiseras tankearbetet kring polynomekvationer (se faktaruta) i flera variabler, vars nollställen han har utvecklat nya framgångsrika teorier för.

Sökte sanningen

Petter Brändén började studera teknisk fysik efter gymnasiet, men insåg snart att det var matematik han brann mest för. Så han bytte inriktning och läste matematik och filosofi på Göteborgs universitet, där han också disputerade i matematik 2005. Efter två år som postdok vid University of Michigan flyttade han till KTH. Efter en period vid Stockholms universitet kom Petter Brändén tillbaka till KTH 2011 och startade en egen forskargrupp.

– När jag började läsa på universitetet så var jag en sökare. Jag ville hitta sanningen och kände att matematiken kunde vara ett sätt att nå dit. Matematiken har ett mycket rent språk att beskriva och bevisa saker med. Jag blev också fascinerad av skönheten i det.

Kombinatorik och polynom

Mycket av den matematik man lär sig i grundskolan handlar om grafer och kurvor. Men kombinatorik handlar om så kallade diskreta eller finita ting, berättar Petter Brändén.

– Till exempel hur många sätt kan du göra en uppgift på, eller hur stor chans är det att få 13 rätt på tipset om du inte har någon kunskap alls. Mycket av spelteorin är kombinatorik.

Redan under doktorandtiden började Petter Brändén intressera sig för kombinatoriska strukturer och polynoms nollställen, det vill säga där funktionens värde är noll. Att hitta nollställen till polynom är ett av de äldsta problemen i matematikens historia, förklarar han.

– Polynomekvationer tillhör de klassiska delarna i matematiken. Även många av nutidens stora öppna matematiska frågor handlar om att hitta nollställen till polynom och besläktade funktioner.

Många tillämpningar

Sökandet har gett resultat, Petter Brändéns teorier har varit banbrytande. År 2008 fick han Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelses Wallenbergspris som delas ut av Svenska Matematikersamfundet till framstående unga forskare. Tillsammans med forskaren Julius Borcea publicerade han i samma veva en teori för polynom i fler variabler och dess nollställen.

– Det finns en mängd olika problem inom matematiken där våra metoder kan användas för att hitta en lösning. Vi har bland annat använt oss av teorin för att lösa centrala frågor i sannolikhetslära och statistisk mekanik. Jag har även tillämpat metoden inom linjär algebra och reell algebraisk geometri.

Precis som i all annan forskning lever matematiken sitt eget liv, konstaterar Petter Brändén.

– En sak leder till en annan och så blir det som ett träd. Man vet inte riktigt vad som kommer att hända och så plötsligt så sker det något någon annanstans.

Ett exempel på det är när ett team vid Yale University i USA år 2013 använde sig av Petter Brändéns metoder för att lösa ett gammalt problem inom matematik och kvantfysik som heter Kadison-Singerproblemet.

– Det var ett problem som formulerades 1959 och som har varit öppet sedan dess. De lyckades vidareutveckla delar av vår teori för att lösa det, vilket var väldigt kul.

”Utnämningen betyder att jag kan koncentrera mig på forskning och inte behöver ha så mycket undervisning. Jag kan sitta ned och tänka, och forska på långsiktiga problem. Det är nödvändigt för att kunna vara en aktiv forskare.”

Modellerar negativt beroende

Många av de problem Petter Brändén ägnar sig åt handlar om matematisk modellering av oberoende, och beroende, mellan objekt och företeelser. Han ger ett exempel från sannolikhetslära och statistisk mekanik.

Fysikaliska partiklar kan stöta bort, repellera, varandra. Då är de negativt beroende av varandra. Tillsammans med Julius Borcea och Thomas M. Liggett, verksam vid University of California, Los Angeles, UCLA, har Petter Brändén visat att det finns ett starkt samband mellan nollställen hos vissa typer av polynom och negativt beroende.

– Man hade länge letat efter en teori för negativt beroende, och vi lyckades 2009 ta fram en teori som min forskargrupp nu utvecklar vidare. Teorin har till exempel använts för att lösa en central fråga kring modeller för repellerande partiklar i statistisk mekanik.

Ett annat exempel där hans metoder visat sig användbara är i Lee-Yangs teknik för att matematiskt beräkna var fasövergångar kan ske inom fysiken. Ett exempel på fasövergång är när is blir vatten eller vatten blir gas.

Matematikforskningen har blivit en livsstil, avslutar Petter Brändén. Den stora utmaningen är att kunna tänka nytt och vara kreativ.

– Ofta trampar man vatten, men så plötsligt kommer man på något avgörande. Jag får fortfarande samma kickar när jag får en bra idé. Då är det värt allt slit.

Text Susanne Rosén
Bild Magnus Bergström