Wallenberg Scholars

Han rör sig på gränsen mellan matematik och fysik

Tobias Ekholm är matematiker, men i och med att han allt mer har koncentrerat sig på symplektisk geometri har han närmat sig ungdomsårens intresse för fysik. Internationellt är det ett stort område som ligger nära fysikens strängteori. Men i Sverige är Tobias ganska ensam. Trots det återfinns han bland världens främsta unga symplektiska geometriker.

Den svarta tavlan som upptar kortväggen av Tobias Ekholms arbetsrum vid Uppsala universitet är fylld med formler och olika geometriska figurer. Han berättar att han tidigare framför allt arbetade med krita och tavla, eller block och penna, men att iPaden numera är hans främsta verktyg.

– Det kan bli ganska omfattande konstruktioner och när jag tänker på något geometriskt vill jag gärna illustrera det med en bild. I plattan kan jag dessutom på ett enkelt sätt organisera anteckningarna så att de är lätta att hitta.

Under gymnasietiden var det snarare fysiken än matematiken som intresserade Tobias.

– Det var först när jag började läsa matematik på universitetet som jag blev tagen av det. Geometrin, som i vissa avseenden skiljer sig ganska rejält från den klassiska skolgeometrin, ligger i linje med mitt sätt att tänka, konstaterar Tobias Ekholm.

Strängteorin förenar

Hans forskning har berört många av geometrins delar. Från topologi och differentialgeometri har han landat i symplektisk geometri. Ämnet har sina anor i klassisk mekanik som grundar sig på Isaac Newtons rörelselagar så som de formulerades av Joseph-Louis Lagrange och William Rowan Hamilton. Under 1980–1990 återuppväcktes intresset för ämnet och nya banbrytande tekniker upptäcktes.

– Man kan säga att både metoder och frågeställningar ligger nära teoretisk fysik. Det intressanta är att matematiken och fysiken har närmat sig geometrin från varsitt håll med snarlika angreppssätt vilket lett till ett ömsesidigt befruktande och en närmast explosionsartad kunskapsutveckling. Stängteoretiska och symplektisk geometriska problem har lett forskningen i samma riktning och krävt gemensamma insatser.

De flesta av oss tänker på trianglar, cirklar, vinklar och areor när vi hör ordet geometri.

– Symplektisk geometri är ett lite vildare slags geometri, det handlar om tvådimensionella areor som måste bevaras, de får inte förändras vid manipulering, berättar Ekholm.

Kopplingen till den teoretiska fysikens strängteori där målet, förenklat beskrivet, är att få ihop gravitationen med övriga fundamentala krafter, går via den topologiska strängteorin som kan sägas vara en enklare variant och fungerar som en slags modell.

– Lite förenklat kan man kanske säga att fysiker vill förstå världen, hur de fysiska lagarna fungerar, medan matematiker sysslar mer med inomvetenskapliga matematiska problem som handlar om de lagar som de fysiska lagarna måste följa.

Gemensamma problem

Ett färskt exempel på samband mellan symplektisk geometri och topologisk strängteori kommer från studiet av matematiska knutar, det vill säga tilltrasslade och oändligt elastiska cirklar i rummet.

– För ett antal år sedan introducerade vi en ny knutinvariant av symplektisk geometrisk natur som förenar ett polynom, en matematisk modell, med varje knut och som är tillräckligt kraftfull för att skilja den oknutna cirkeln från alla andra knutar.

Tobias Ekholm berättar att förra året lyckades två fysiker också förena ett polynom till varje knut via topologisk strängteori.

– De har i alla fall beräknat att det stämde med vårt polynom. Genom gemensamma ansträngningar skönjer vi nu en förklaring till varför polynomen överensstämmer och har på detta sätt funnit ett nytt och slående samband mellan symplektisk geometri och topologisk strängteori.

Viktigt med starka miljöer

Tobias Ekholm har sina närmaste medarbetare i USA. Han samarbetar med fysiker på Harvard och Berkely och matematiker på Duke, Stanford samt Cambridge i England.

– Att vara matematiker är ett ganska ensamt jobb. Därför är det viktigt att komma ut i världen, till riktigt starka miljöer. Wallenberg Scholar-anslaget innebär att jag kan rekrytera postdoktorer hit, vilket inte är vanligt, och bygga en miljö och en brygga över till fysiken.

Tobias Ekholms forskning är, vilket nog har framgått, helt teoretisk och kan beskrivas som matematisk grundforskning.

– Praktiska tillämpningar är relativt långt borta. Det helt öppet vad som kommer ut, menar han.

Samtidigt ligger avancerad matematik alltid bakom ny, banbrytande teknologi. Sökningar via Google eller GPS-teknik är två exempel. Det finns också ett antal exempel på forskare som genom teoretiska studier förutsett saker långt före de har kunnat påvisas experimentellt, ett aktuellt exempel är Higgspartikeln.

Gång på gång har historien visat att kunskap som i början kan te sig ligga långt från reella tillämpningar har en stor förmåga att längre fram i tiden vara ytterst betydelsefull.

Text Carina Dahlberg
Bild Magnus Bergström